Question

【題目】已知函數f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然對數的底數，e≈2.718…)．

(1)求函數f(x)的極值；

(2)若函數y＝f(x)g(x)在區間[1，2]上單調遞增，求實數a的取值范圍；

(3)若函數h(x)＝在區間(0，＋∞)上既存在極大值又存在極小值，并且函數h(x)的極大值小于整數b，求b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）4

【解析】

（1）對求導，通過的正負，列表分析的單調性進而求得極值.

（2）先求得的解析式，對其求導，原題轉化為導函數在上恒成立，令，求得a的范圍.（3）由題意知在上有兩個不等實根，即在上有兩個不等實根，對求導分析可得在和上各有一個實根，從而得到極大值，將視為關于的函數，求導得到，又因為，得到整數b的最小值.

（1），，令，解得，列表：

		2
	+	0	-
		極大值

∴當時，函數取得極大值，無極小值

（2）由，得

∵，令，

∴函數在區間上單調遞增等價于對任意的，函數恒成立

∴，解得．

（3），

令，

∵在上既存在極大值又存在極小值，∴在上有兩個不等實根，

即在上有兩個不等實根．

∵

∴當時，，單調遞增，當時，，單調遞減

則，∴，解得，∴

∵在上連續且，

∴在和上各有一個實根

∴函數在上既存在極大值又存在極小值時，有，并且在區間上存在極小值，在區間上存在極大值．

∴，且

，

令，，當時，，單調遞減

∵，∴，即，則

∵的極大值小于整數，∴滿足題意的整數的最小值為4．