Question

【題目】已知橢圓： 過點， ， 分別是橢圓的左、右焦點，以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的直線交橢圓于， ，求內切圓面積的最大值和此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），直線l的方程為，

【解析】試題分析：（1）由條件可設處圓的方程，根據直線和圓相切得到，再根據點在橢圓上得到橢圓方程；（2）由，故求△面積的最大值即可，聯立直線和橢圓方程，得到二次方程，根據弦長公式和點線距得到，分析單調性可求出最值。

解析：

（Ⅰ）以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓的方程為，

由題意， ，所以．

∵點在橢圓上，∴，解得，

∴橢圓C的方程為．

（Ⅱ）由，

根據橢圓定義， ，所以，

于是求△內切圓面積的最大值即為求△面積的最大值．

設直線l的方程為， ， ，則

消去得，所以， ．

因為，點到直線的距離為，

所以△的面積為 ．

令 ，則．

∵在上單調遞增，∴當時， 取得最大值為3，

此時，直線l的方程為，

內切圓的半徑為，所以內切圓面積的最大值為．