Question

【題目】已知函數， ，其中為自然對數的底數.

（Ⅰ）討論函數的單調性.

（Ⅱ）是否存在實數，使對任意恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求出導函數，求出的解，在定義域內的各區間可得的正負，即得的單調區間；

（Ⅱ）觀察函數得，因此有，這樣不等式可化為，設，利用導數研究出的單調性，可根據的取值分類討論求只有時，可得有最小值，由最小值 ，把這個式子作為的函數，由導函數得其最大值為，且，從而可得（一方面，另一方面，因此只有），，再研究在時， 是否恒成立即可．

試題解析：

（Ⅰ），令得.

當且時， ；當時， .

所以在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）注意到，則， ①.

于是， 即，記， ，

若，則，得在上單調遞減，則當時，有，不合題意；

若，易知在上單調遞減，在上單調遞增，

得在上的最小值.

記，則，得有最大值，即，

又，故，代入①得.

當時， 即 .

記，則，得在上有最小值，即，符合題意.

綜上，存在，使對任意恒成立.