Question

【題目】已知，，動點滿足，其中分別表示直線的斜率，為常數，當時，點的軌跡為；當時，點的軌跡為．

（1）求的方程；

（2）過點的直線與曲線順次交于四點，且，，是否存在這樣的直線，使得成等差數列？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在這樣的直線滿足題意，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）利用直接法求動點的軌跡；（2）利用直接法求出的方程為，假設存在直線滿足題意，將等差數列轉化為，結合弦長公式可得，，令可得方程無解，即不存在．

試題解析：（1）設，即，化簡得，此即為的方程；

（2）如（1）易得，假設存在這樣的直線，則由題可知

，由得，故

，易得，故，令

，則可得，令，則

，故，因此無解，所以不存在這樣的直線滿足題意．