Question

【題目】已知橢圓的右頂點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過點的直線與交于兩點，點關于軸的對稱點為，證明：直線恒過一定點.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為 ，拋物線的方程為；（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可知，結合橢圓的性質得到關于a,b,c的方程組，求解方程組可知橢圓的方程為 ，拋物線的方程為.

(2)由題意設直在x軸的截距方程： ，聯立直線方程與拋物線方程可得，結合斜率公式可得直線的方程為，整理變形即： ，據此可知直線恒過定點.

試題解析：

(1)設橢圓的半焦距為，依題意，可得，則，

代入，得，即，所以，

則有，

所以橢圓的方程為 ，拋物線的方程為.

（2）依題意，可知直線的斜率不為0，可設，

聯立 ，得，設，則，

，得或， ，

所以直線的斜率，

可得直線的方程為，

即

，所以當或時，直線恒過定點.