Question

【題目】已知函數，其中為常數.　

（1）判斷函數的單調性并證明；

（2）當時，對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據函數單調性的定義證明即可（2）當時， ，則 ，∴函數是奇函數，對于任意，不等式恒成立，等價為對于任意，不等式恒成立，即，在恒成立，即，在恒成立，設，則等價為即可.討論軸與區間的位置關系求最小值即得解.

試題解析：

（1）函數在上是增函數.

證明如下：

任取， ，且，

則，

∵，∴， ， ，∴，

∴，∴函數在上是增函數.

（2）由（1）知函數在定義域上是增函數，當時， ，則 ，

∴函數是奇函數，

則對于任意，不等式恒成立，

等價為對于任意，不等式恒成立，

即，在恒成立

即，在恒成立，

設，則等價為即可.

即，

當，則函數的最小值為，得，不成立，

當，則函數的最小值為，得，

當，則函數的最小值為，得.

綜上.