Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且kOAkOB=﹣，判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率等于，原點(diǎn)到直線的距離等于及隱含條件聯(lián)立方程組求解的值，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形的面積公式證得答案.

試題解析：（1）由題意得

橢圓的方程為.

（2）設(shè)， 則A,B的坐標(biāo)滿足

消去y化簡(jiǎn)得 ， ，

得，

=

，即

即

=

O到直線的距離

===為定值