Question

【題目】【2018湖南（長郡中學、株洲市第二中學）、江西（九江一中）等十四校高三第一次聯考】已知函數（其中且為常數， 為自然對數的底數， ）．

（Ⅰ）若函數的極值點只有一個，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 或；(Ⅱ) ．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可知函數的定義域為，其導數為.由或，設，則，分類討論可得當或時， 只有一個極值點.很明顯當時， 只有一個極值點.當時， 有、、三個極值點.則當或時，函數只有一個極值點.

(Ⅱ)依題意得，令，則，分類討論：當時， ，與恒成立矛盾；當時，只需成立，則，問題轉化為求解的最小值，計算可得，即的最小值的最大值為.

試題解析：

(Ⅰ)函數的定義域為，其導數為

.

由或，

設，∵，∴當時， ；當時， .

即在區間上遞增，在區間上遞減，∴，

又當時， ，當時， 且恒成立.

所以，當或時，方程無根，函數只有一個極值點.

當時，方程的根也為，此時的因式恒成立，

故函數只有一個極值點.

當時，方程有兩個根、且， ，∴函數在區間單調遞減； 單調遞增； 單調遞減； 單調遞增，此時函數有、、三個極值點.

綜上所述，當或時，函數只有一個極值點.

(Ⅱ)依題意得，令，則對，都有成立.

因為，所以當時，函數在上單調遞增，

注意到，∴若，有成立，這與恒成立矛盾；

當時，因為在上為減函數，且，所以函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，∴，

若對，都有成立，則只需成立，

，

當時，則的最小值，∵，∴函數在上遞增，在上遞減，∴，即的最小值的最大值為；

綜上所述， 的最小值的最大值為.