Question

【題目】已知點是橢圓的左右頂點，點是橢圓的上頂點，若該橢圓的焦距為，直線，的斜率之積為.

(1)求橢圓的方程；

(2)是否存在過點的直線與橢圓交于兩點，使得以為直徑的圓經過點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）. （2）存在；直線的方程為：或.

【解析】試題分析：(1)由題意得，聯立，解得橢圓方程(2) 設直線的方程為，聯立橢圓方程，由根與系數之間關系求得，代入整理求得答案

解析：（1）由題意可知，，，

有 ，

即，又，

解得，所以橢圓的方程為.

（2）存在；

以為直徑的圓經過點可得，，若直線的斜率為，則為點，此時，此時不垂直，不滿足題意，可設直線的方程為：，聯立，消可得，，

則有 . ①

設，由題意可知，因為，

則，即，

整理可得：， ②

將①代入②可得：，

整理得，解得或者，

所以直線的方程為：或.