Question

【題目】已知曲線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸正方向建立平面直角坐標系，曲線的參數方程是（為參數）．

（Ⅰ）將曲線的參數方程化為普通方程；

（Ⅱ）求曲線與曲線交點的極坐標．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)與

【解析】試題分析：

（Ⅰ）將曲線的參數方程消去參數可得普通方程．（Ⅱ）方法一：把曲線的普通方程化為極坐標方程，然后結合消去，可得．進而可得所以，可得或，故可得交點的極坐標．方法二：將方程都化為直角坐標方程后，可求得曲線的交點坐標，然后再化成極坐標．

試題解析：

（Ⅰ）由曲線的參數方程得，

兩式相乘可得曲線的普通方程為．

（Ⅱ）（方法一）將，代入曲線的普通方程，

得

由，得，

代入上式得，

解得，．

所以，解得或，

故所求交點的極坐標為與．

（方法二）由得，

故曲線的直角坐標為

解方程組，得或．

由得，，，故，因此對應點的極坐標為．

同理得對應點的極坐標為，

故所求交點的極坐標為與．