Question

【題目】已知正實(shí)數(shù)列a1，a2，…滿(mǎn)足對(duì)于每個(gè)正整數(shù)k，均有，證明：

（Ⅰ）a1+a2≥2；

（Ⅱ）對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）利用已知條件可得，然后結(jié)合基本不等式可證；

（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

證明：（Ⅰ）當(dāng)k＝1時(shí)，有，即，，

∵，數(shù)列為正實(shí)數(shù)列，

由基本不等式1，∴，

∴a1+a2≥2．

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法：

由（Ⅰ）得n＝2時(shí)，a1+a2≥2，不等式成立；

假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2）時(shí)，a1+a2+…+ak≥k成立；

則當(dāng)n＝k+1時(shí)，a1+a2+…+ak+ak+1≥k，

要證kk+1，即證1，

即為kak≥ak2+k﹣1，即為（ak﹣1）（k﹣1）≥0，

∵k≥2，∴k﹣1≥1，當(dāng)ak﹣1≥0時(shí)，a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1，

∴對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．

當(dāng)0＜ak＜1時(shí)，

∵對(duì)于每個(gè)正整數(shù)k，均有，

∴，則，

a1+a2+…+an+an+1an+1n﹣1+2＝n+1．

綜上，對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．