Question

【題目】已知函數，，（其中是自然對數的底數）.

(1)若，求函數在上的最大值.

(2)若，關于x的方程有且僅有一個根，求實數k的取值范圍.

(3)若對任意的、，，不等式都成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）若，則，利用導數法可得函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，結合又，可得函數在上的最大值；

（2）若，關于的方程有且僅有一個根，即有且只有一個根，令，可得，進而可得當時，有且只有一個根．

（3）設，因為在，單調遞增，故原不等式等價于在、，，且恒成立，當恒成立時，；當恒成立時，，綜合討論結果，可得實數的取值范圍．

解：（1）若，則，

，

時，，時，，

函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

又，

故函數的最大值為．

（2）由題意得：有且只有一個根，

令，則

故在上單調遞減，上單調遞增，上單調遞減，

所以，

因為在單調遞減，且函數值恒為正，又當時，，

所以當或時，有且只有一個根．

即

（3）設，因為在，單調遞增，

故原不等式等價于在、，，且恒成立，

所以在、，，且恒成立，

即，在、，且恒成立，

則函數和都在單調遞增，

則有，在，恒成立，

當恒成立時，因為在單調遞減，

所以的最大值為，所以；

當恒成立時，因為在單調遞減，在單調遞增，

所以的最小值為，所以，

綜上：．