Question

【題目】已知函數 (是自然對數的底數)

（1）求證:

（2）若不等式在上恒成立,求正數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見證明； (2)

【解析】

（1）要證ex≥x+1，只需證f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，求導得f′（x）＝ex﹣1，利用導數性質能證明ex≥x+1．

（2）不等式f（x）＞ax﹣1在x∈[，2]上恒成立，即a在x∈[]上恒成立，令g（x），x∈[]，利用導數性質求g（x）在x∈[]上的最小值，由此能求出正數a的取值范圍．

（1）由題意知，要證，只需證，

求導得，當時，，

當時，，

∴f（x）在是增函數，在時是減函數，

即在時取最小值，

∴，即，

∴．

（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，

亦即在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=，，

以下求在上的最小值，

,當時，，

當]時，，

∴當]時，單調遞減，當]時，單調遞增，

∴在處取得最小值為，

∴正數a的取值范圍是．