Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足2Sn+an=1；遞增的等差數列{bn}滿足b1=1，b3=﹣4．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）若cn是an ， bn的等比中項，求數列{}的前n項和Tn；
（3）若c≤t2+2t﹣2對一切正整數n恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）當n=1時，a1=S1 ， 2S1+a1=1，解得a1=；
當n＞1時，2Sn+an=1，可得2Sn﹣1+an﹣1=1，
相減即有2an+an﹣an﹣1=0，即為an=an﹣1 ，
則an=（）n；
設遞增的等差數列{bn}的公差為d，即有1+2d=（1+d）2﹣4，
解得d=2，則bn=2n﹣1；
（2）cn是an ， bn的等比中項，可得=anbn=（2n﹣1）（）n；
前n項和Tn=1+3（）2+5（）3+…+（2n﹣1）（）n；
Tn=1（）2+3（）3+5（）4+…+（2n﹣1）（）n+1；
相減可得Tn=+2[（）2+（）3+…+（）n]﹣（2n﹣1）（）n+1
=+2﹣（2n﹣1）（）n+1；
化簡可得前n項和Tn=1﹣（n+1）（）n；
（3）≤t2+2t﹣2對一切正整數n恒成立，即為
（2n﹣1）（）n≤t2+2t﹣2恒成立．
由ccn+12﹣=（2n+1）（）n+1﹣（2n﹣1）（）n=（）n（1﹣n）≤0，
可得數列{}單調遞減，即有最大值為c12=，
則≤t2+2t﹣2，解得t≥1或t≤﹣7．
即實數t的取值范圍為（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞）．
【解析】（1）討論n=1時，a1=S1 ， 當n＞1時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得數列{an}的通項公式；再由等差數列的通項公式，解方程可得d，即可得到所求{bn}的通項公式；
（2）運用等比數列的性質，求得=anbn=（2n﹣1）（）n；再由數列的求和方法：錯位相減法，化簡整理即可得到所求；
（3）由題意可得（2n﹣1）（）n≤t2+2t﹣2恒成立．判斷{（2n﹣1）（）n}的單調性，可得最大值，解不等式即可得到t的范圍。
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．