Question

【題目】設橢圓，離心率，短軸，拋物線頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，焦點為，

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）設坐標原點為,為拋物線上第一象限內的點，為橢圓是一點，且有，當線段的中點在軸上時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） , ;(2)

【解析】

（1）根據條件列方程組解得a,b，根據拋物線焦點坐標所在位置可設拋物線方程形式，再根據焦點坐標求拋物線標準方程，（2）利用斜率設直線、OB方程，分別與拋物線、橢圓方程聯立方程組解得A,B橫坐標，再根據A,B橫坐標和為0解斜率得A,B坐標，最后根據兩點式求直線AB 方程.

(1) 由得，又有，代入，解得

所以橢圓方程為

由拋物線的焦點為得，拋物線焦點在軸，且，

拋物線的方程為：

(2)由題意點位于第一象限，可知直線的斜率一定存在且大于

設直線方程為：，

聯立方程得：，可知點的橫坐標，即

因為，可設直線方程為：

連立方程得：，從而得

若線段的中點在軸上，可知，即

有，且，解得

從而得，

直線的方程：