Question

【題目】設函數 （為常數，是自然對數的底數）．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數在內存在兩個極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為單調遞增區間為；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導函數，根據導函數的正負性，求出函數的單調區間；
（Ⅱ）函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，等價于它的導函數f′（x）在（0，2）內有兩個不同的零點．

試題解析：（1）.函數的定義域為

由可得,

所以當時,,函數單調遞減;

當時,,函數單調遞增;

所以的單調遞減區間為單調遞增區間為.

（2）.由1知,時,函數在內單調遞減,

故在內不存在極值點;

當時,設函數,,

因為,

當時,當時,,單調遞增;

故在內不存在兩個極值點;

當時,得時,,函數單調遞減;

時,,函數單調遞增;

所以函數的最小值為,

函數在內存在兩個極值點,

當且僅當,解得.

綜上所述,函數在內存在兩個極值點時,的取值范圍為.