Question

【題目】如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．

現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min，在甲出發2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C．假設纜車勻速直線運行的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經測量，cos A＝，cos C＝．

（1）求索道AB的長；

（2）問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

Answer 1

【答案】（1）1 040 m；（2）；（3）．

【解析】（1）在中，因為cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝．

從而sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝．

由正弦定理，可得．

所以索道AB的長為1 040 m．（3分）

（2）假設乙出發t 分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了（100＋50t）m，乙距離A處130t m，

所以由余弦定理，得，

因為，即0≤t≤8，所以當分鐘時，甲、乙兩游客距離最短．（6分）

（3）由正弦定理，得．

乙從B出發時，甲已走了50×（2＋8＋1）＝550（m），還需走710 m才能到達C．

設乙步行的速度為v m/min，由題意得，解得，

所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在（單位：m/min）范圍內．（10分）