Question

【題目】如圖，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，、分別是棱、上的動點，且，，，.

（1）證明：無論點怎樣運動，四邊形都為矩形；

（2）當時，求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用面面平行的性質定理得出，由面面平行的性質定理可得出，可證明出四邊形為平行四邊形，由平面，可得出，從而可證明出四邊形為矩形；

（2）計算出梯形的面積和的面積，將梯形的面積減去的面積可得出四邊形的面積，再利用柱體的體積公式可求出幾何體的體積.

（1）在直四棱柱中，，平面，平面，平面，

平面，平面平面，.

在直四棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，，則四邊形為平行四邊形，

在直四棱柱中，平面，平面，，

因此，無論點怎樣運動，四邊形都為矩形；

（2）由于四邊形是直角梯形，且，，，，，

所以，梯形的面積為，

，易得，的面積為，

四邊形的面積為，

由題意可知，幾何體為直四棱柱，且高為，

因此，幾何體的體積為.