Question

【題目】已知點，圓，過點的動直線與圓交于兩點，線段的中點為,為坐標原點．

(Ⅰ)求的軌跡方程；

(Ⅱ)當（不重合）時，求的方程及的面積．

Answer 1

【答案】（I）；（II）(或) ，

【解析】

（Ⅰ）由圓C的方程求出圓心坐標和半徑，設出M坐標，由與數量積等于0列式得M的軌跡方程；

（Ⅱ）設M的軌跡的圓心為N，由|OP|＝|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直線的斜率，由直線方程的點斜式得到PM所在直線方程，由點到直線的距離公式求出O到l的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長間的關系求出PM的長度，代入三角形面積公式得答案．

（I）圓C的方程可化為，∴圓心為，半徑為4，設，

∴由題設知 ，即.由于點在圓的內部，所以的軌跡方程是.

（II）由（I）可知的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓.

由于，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而.

∵的斜率為3 ∴的方程為.(或).又，到的距離為，，∴的面積為