Question

【題目】設是橢圓上的點，是焦點，離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是橢圓上的兩點，且，問線段的垂直平分線是否過定點？若過定點，求出此定點的坐標，若不過定點，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）過，

【解析】

（1）由條件可知，并且點代入橢圓方程，求得橢圓的標準方程；

（2）設直線的方程為，則，與橢圓方程聯立，求得的中點坐標，

并表示線段的垂直平分線方程，利用條件，求得直線所過的定點，并說明當斜率不存在時，也滿足.

（1）由于橢圓的離心率為，，

所以，橢圓的標準方程為，

將點的坐標代入橢圓的標準方程得，得，

因此，橢圓的方程為；

（2）由題意知，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，則.

將直線的方程與橢圓方程聯立，得.

由韋達定理可得，①，

所以，，則線段的中點坐標為.

則線段的垂直平分線方程為，即，

即，此時，線段的垂直平分線過定點；

當直線的斜率不存在時，直線的垂直平分線就是軸，也過點；

綜上所述，線段的垂直平分線過定點.