Question

【題目】如圖所示，在四棱柱中，側棱底面，，，，，，．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接，證明出四邊形為平行四邊形，由此可得出各邊邊長，利用勾股定理逆定理可證明出，進而得出，再由側棱底面，可得出，利用線面垂直的判定定理可證明出平面；

（2）以為原點，、、的方向為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可求出直線與平面所成角的正弦值．

（1）取的中點，連接．

，，四邊形為平行四邊形，

且．

在中，，，，，，即，又，所以．

平面，平面，．

又，平面；

（2）以為原點，、、的方向為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，

所以，，．

設平面的法向量，則由，得，

取，得．

設直線與平面所成角為，

則．

因此，直線與平面所成角的正弦值為.