Question

【題目】已知函數，

（1）若函數有個零點，求的取值范圍；

（2）若有兩個極值點，且，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）將問題轉變為，與有兩個交點，利用導數得到圖象，利用圖象可求得結果；（2）根據有兩個極值點，通過導函數圖象構造不等式組，可求得的范圍；再根據為的較大根，可求得且知；綜合范圍可求得的范圍；構造函數，，則只需證即可證得結論；利用導數研究函數的單調性，求得時，的范圍即可證得結論.

（1）令，故

若，函數無零點，不合題意

則

令，

則

當時，，

當時，，

作出函數的圖像如圖所示：

則時，與有兩個交點

即時，有個零點

即的取值范圍為

（2）由題意得：，

則

令

有兩個極值點 ，解得：

則是方程的兩根 ，

且

令，

則，

， ，使得

故當時，；當時，

即在上單調遞減；在上單調遞增

又，

當時，

函數在上單調遞增

即