Question

【題目】已知拋物線的焦點F與橢圓的右焦點重合，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）記拋物線C的準線與x軸的交點為H，試問：是否存在，使得，且成立？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；

【解析】

（1）根據拋物線的焦點，結合橢圓的焦點，可得結果.

（2）巧設直線的方程，聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理，可得，然后根據，可得到的式子，最后可得結果.

（1）依題意：在橢圓中，

，，則，

所以點，則，即.

故拋物線C的方程為.

（2）設直線，，，

聯立，消去x，得.

因為，所以，

且.

又，則，

即，代入①，得，

消去，得.易得，

則

由

.

由，

解得或（舍去），

將代入，

得，

又由題意，可得，

解得或.

故存在滿足題意的實數，

其取值范圍是.