Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn（n，Sn）都在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上，記an與an+1的等差中項(xiàng)為kn ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若 ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）設(shè)集合 ，等差數(shù)列{cn}的任意一項(xiàng)cn∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小數(shù)，且110＜c10＜115，求{cn}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)Pn（n，Sn）都在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上，∴ ，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1．

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3滿足上式，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1．

（2）

解：∵kn為an與an+1的等差中項(xiàng)

∴

∴ ．

∴ ①

由①×4，得 ②

①﹣②得： =

∴

（3）

解：∵

∴A∩B=B

∵cn∈A∩B，c1是A∩B中的最小數(shù)，∴c1=6．

∵{cn}是公差為4的倍數(shù)的等差數(shù)列，∴ ．

又∵110＜c10＜115，∴ ，解得m=27．

所以c10=114，

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則 ，

∴cn=6+（n+1）×12=12n﹣6，

∴cn=12n﹣6．

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)Pn（n，Sn）都在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上，可得 ，再寫(xiě)一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）先確定數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和；（3）先確定A∩B=B，再確定{cn}是公差為4的倍數(shù)的等差數(shù)列，利用110＜c10＜115，可得c10=114，由此可得{cn}的通項(xiàng)公式．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)的理解，了解在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列．