Question

【題目】以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，并且在兩種坐標系中取相同的長度單位.若將曲線（為參數）上每一點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），然后將所得圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到曲線C.直線l的極坐標方程為.

（1）求曲線C的普通方程；

（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸交于點P，線段AB的中點為M，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據題意得到（為參數）后，消去參數即可得到曲線C的普通方程；

（2）將直線的方程化為參數方程的標準形式并代入到圓的方程，利用參數的幾何意義可解得結果.

（1）將曲線（為參數）上每一點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），得到， 然后將所得圖像向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到（為參數），消去參數得圓C的普通方程為.

（2）由得，即，因為，所以，

即直線l的直角坐標方程為：，傾斜角為，點，

設直線l的參數方程為，代入圓C的普通方程并整理得：，

因為，設、兩點對應的參數分別為，，則點對應的參數為，

由韋達定理得，，

則.