Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線交橢圓于兩點，.

（1）若，且點滿足，證明：點不在橢圓上；

（2）若橢圓的左，右焦點分別為，，直線與線段和橢圓的短軸分別交于兩個不同點，，且，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）直線的方程與橢圓聯立，利用韋達定理以及，得出點的坐標，最后將點代入橢圓方程，即可得出結論；

（2）直線的方程與橢圓聯立，利用韋達定理，求出以及的取值范圍，進而得出的值，再由三角形的面積公式以及二次函數的性質得出四邊形面積的最小值.

設直線交橢圓于兩點，

（1）把代入得

所以，

因為

所以，即

因為

所以點不在橢圓上；

（2）由代入得

則，

又，，

因為，所以，即

所以

因為直線與線段及橢圓的短軸分別交于不同兩點

所以

又，則

故，

，即

因為，

所以

因為

所以

故當或時，四邊形面積的最小值為.