Question

【題目】如圖，已知四邊形為菱形，且，取中點為.現將四邊形沿折起至，使得.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若點滿足，當平面時，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）只需證明，，，由線面垂直的判定定理可得證明；

（Ⅱ）以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，求得平面的法向量和平面的法向量.設二面角的大小為，可知為銳角，利用空間向量法即可得到所求值；

（Ⅲ）由計算出向量的坐標，由，計算可得所求值.

（Ⅰ）在左圖中，為等邊三角形，E為中點，所以，所以.

因為，所以.

因為，，，所以平面；

（Ⅱ）設菱形的邊長為，由（Ⅰ）可知，，.

所以以為原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖空間坐標系.

可得，，，，，.

設平面的法向量為，所以，即.

令，則.

平面的法向量為.

設二面角的大小為，則為銳角，；

（Ⅲ）由，

因為平面，則，即，所以.