Question

【題目】某倉庫為了保持庫內(nèi)溫度，四周墻上裝有如圖所示的通風(fēng)設(shè)施，該設(shè)施的下部是等邊三角形ABC，其中AB=2米，上部是半圓，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．△EMN是通風(fēng)窗，（其余部分不通風(fēng)）MN是可以沿設(shè)施的邊框上下滑動(dòng)且保持與AB平行的伸縮桿（MN和AB不重合）．

（1）設(shè)MN與C之間的距離為x米，試將△EMN的面積S表示成的函數(shù)；

（2）當(dāng)MN與C之間的距離為多少時(shí)，△EMN面積最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）本題為分類求等腰三角形面積：當(dāng)MN在三角形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，利用直角三角形求高及底邊長；當(dāng)MN在半圓形區(qū)域滑動(dòng)即時(shí)，利用圓的方程求底邊長（2）求分段函數(shù)最值，先分兩段分別求最值：一段為二次函數(shù)最值，利用對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系即得；另一段可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或利用基本不等式求最值，也可結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值

試題解析：（1）①當(dāng)MN在三角形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)

即 是等腰三角形，

連接EC交MN于P點(diǎn)，則PC=x，PN=，

的面積

②當(dāng)MN在半圓形區(qū)域滑動(dòng)即時(shí)

所以

（2）時(shí)，的對稱軸為

所以．

時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)取等號，

又所以三角形EMN的面積最大值為．