Question

【題目】某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為30元，并且每件產品須向總公司繳納元(為常數，)的管理費．根據多年的統計經驗，預計當每件產品的售價為元時，產品一年的銷售量為為自然對數的底數)萬件．已知每件產品的售價為40元時，該產品一年的銷售量為500萬件．經物價部門核定每件產品的售價最低不低于35元，最高不超過41元．

（Ⅰ）求分公司經營該產品一年的利潤萬元與每件產品的售價元的函數關系式；

（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，該產品一年的利潤最大，并求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) L(x)= 500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)；(2) 當2≤a≤4時，每件產品的售價為35元，該產品一年的利潤L(x)最大，最大為500(5－a)e5萬元；當4<a≤5時，每件產品的售價為(31＋a)元時，該產品一年的利潤L(x)最大，最大為500e9－a萬元.

【解析】

試題分析:（1）先根據條件求出k，再根據利潤等于銷售量乘以單個利潤得函數解析式，最后交代定義域（2）先求導數，再求導函數零點，根據零點與定義區間關系分類討論，確定導函數符號，進而確定最大值

試題解析：(1)由題意，該產品一年的銷售量為y＝.

將x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.

故該產品一年的銷售量y(萬件)關于x(元)的函數關系式為y＝500e40－x.

所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．

(2)由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．

①當2≤a≤4時，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，

當且僅當a＝4，x＝35時取等號．

所以L(x)在[35，41]上單調遞減．

因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.

②當4<a≤5時，L′(x)>035≤x<31＋a，

L′(x)<031＋a<x≤41.

所以L(x)在[35，31＋a)上單調遞增，在[31＋a，41]上單調遞減．

因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.

綜上所述當2≤a≤4時，每件產品的售價為35元，該產品一年的利潤L(x)最大，最大為500(5－a)e5萬元；

當4<a≤5時，每件產品的售價為(31＋a)元時，該產品一年的利潤L(x)最大，最大為500e9－a萬元．