Question

【題目】稱正整數集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性質 P：如果對任意的i，j（1≤i≤j≤n），與兩數中至少有一個屬于A.

（1）分別判斷集合{1，3，6}與{1，3，4，12}是否具有性質 P；

（2）設正整數集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性質 P.證明：對任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因數；

（3）求an=30時n的最大值.

Answer 1

【答案】（1）{1，3，6}不具有，{1，3，4，12}具有；（2）證明見解析；（3）8

【解析】

(1)根據性質P；對任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj與兩數中至少有一個屬于A，驗證兩集合集{1，3，6}與{1，3，4，12}中的任何兩個元素的積、商是否為該集合中的元素；(2)運用反證法，結合A具有性質P，即可得證;(3)運用30的質因數分解，結合組合的知識，即可得到n的最大值.

（1）由于3×6與均不屬于數集{1，3，6}，∴數集{1，3，6} 不具有性質P；

由于1×3，1×4，1×12，3×4，，都屬于數集{1，2，3，6}，

∴數集{1，3，4，12} 具有性質P.

（2）證明：設正整數集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性質 P，

即有對任意的i，j（1≤i≤j≤n），與兩數中至少有一個屬于A.

運用反證法證明.假設存在一個數ai不是an的因數，

即有aian與或，都不屬于A，這與條件A具有性質P矛盾.

故假設不成立.

則對任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因數；

（3）由（2）可知，均為的因數，

由于30=2×3×5，由組合的知識可知2，3，5都有選與不選2種可能.

共有2×2×2=8種，即n的最大值為8.