Question

【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在(－2，2)上的奇函數(shù)．當(dāng)x∈(－2，0)時(shí)，f(x)＝－loga(－x)－loga(2＋x)，其中a>1.

（1）求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．

（2）若t∈(0，2)，判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，t]上是否有最大值和最小值．若有，請(qǐng)求出最大值和最小值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為－1，0，1；（2）f(x)有最大值，無(wú)最小值，理由見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由奇函數(shù)在零點(diǎn)有意義則,然后在上解方程,最后利用奇函數(shù)對(duì)稱性即可求出函數(shù)的零點(diǎn).

(2)由奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)解析式,然后分別討論,和時(shí),函數(shù)在上的最值.

（1）令－loga(－x)－loga(2＋x)＝0,即,

則,解得x＝－1.

由題意f(x)是定義在(－2，2)上的奇函數(shù),∴,,

∴f(x)＝0解集為{－1,0,1},故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為－1,0,1.

（2）∵f(x)是定義在(－2，2)上的奇函數(shù),

∴

當(dāng)0<t≤1時(shí),f(x)＝logax(2－x)在區(qū)間(0，t]上單調(diào)遞增,

∴f(x)有最大值,f(x)max＝f(t)＝logat(2－t),無(wú)最小值,

當(dāng)1<t<2時(shí),f(x)＝logax(2－x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1，t]上單調(diào)遞減,∴f(x)有最大值,f(x)max＝f(1)＝0,無(wú)最小值.