Question

【題目】已知正實數a，b滿足：a+b=2．
（1）求 的最小值m；
（2）設函數f（x）=|x﹣t|+|x+ |（t≠0），對于（Ⅰ）中求得的m，是否存在實數x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正實數a，b滿足a+b=2．

∴ = （ ）（a+b）

= （2+ + ）≥ （2+2 ）=2，

當且僅當 = 即a=b=1時取等號，

∴ 的最小值m=2；

（2）由不等式的性質可得f（x）=|x﹣t|+|x+ |

≥|x﹣t﹣x﹣ |=|t+ |=2

當且僅當t=±1等號時成立，此時﹣1≤x≤1，

∴存在x∈[﹣1，1]使f（x）=m成立．

【解析】（1）由題意可得 = （ ）（a+b）= （2+ + ），由基本不等式可得；（2）由不等式的性質可得f（x）≥|x﹣t﹣x﹣ |=|t+ |=2，由基本不等式和不等式的性質可得．
【考點精析】利用基本不等式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．