Question

【題目】已知a＞0，b＞0，c＞0，函數f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值為10．
（1）求a+b+c的值；
（2）求 （a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此時a、b、c的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c≤|b+a|+c，當且僅當x≥b時等號成立，

∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最大值為a+b+c．

又已知f（x）的最大值為10，所以a+b+c=10．

（2）解：由（1）知a+b+c=10，由柯西不等式得[ （a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2]（22+12+12）≥（a+b+c﹣6）2=16，

即 （a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2≥

當且僅當 （a﹣1）=b﹣2=c﹣3，即a= ，b= ，c= 時等號成立．

【解析】（1）利用絕對值不等式，求出f（x）的最大值為a+b+c，即可求a+b+c的值；（2）利用柯西不等式，即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二維形式的柯西不等式的相關知識，掌握二維形式的柯西不等式：當且僅當時，等號成立．