Question

已知：在函數的圖象上，以為切點的切線的傾斜角為．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整數，使得不等式對于恒成立？如果存在，請求出最小的正整數；如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求證：（，）．

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）存在最小的正整數，使得不等式對于恒成立.
（Ⅲ）（，）.

試題分析：（Ⅰ） ，依題意，得，即，.
2分
∵ ， ∴ .                             3分
（Ⅱ）令，得.                 4分
當時，；
當時，；
當時，.
又，，，.
因此，當時，.              7分
要使得不等式對于恒成立，則.
所以，存在最小的正整數，使得不等式對于
恒成立.                                     9分
（Ⅲ）方法一：



.            11分
又∵ ，∴ ，.
∴
.         13分
綜上可得，（，）.                  14分
方法二：由（Ⅱ）知，函數在 [-1，]上是增函數；在[,]上是減函數；在[，1]上是增函數.
又，，，.
所以，當x∈[-1，1]時，，即.
∵ ，∈[-1，1]，∴ ，.
∴ .   11分
又∵，∴ ，且函數在上是增函數.
∴ .            13分
綜上可得，（，）.     14分
點評：難題，本題綜合性較強，對復雜式子的變形能力要求較高。不等式的證明中，靈活運用不等式的性質是一個關鍵點。