Question

【題目】已知球內接四棱錐的高為相交于，球的表面積為，若為中點.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，利用線面平行的判斷定理可得結論；

(2)結合題中的幾何關系建立空間直角坐標系，結合平面的法向量可得二面角的余弦值為.

試題解析：

解：（1）證明：由分別是的中點，得，

且滿足平面平面，所以平面.

（2）由球的表面積公式，得球的半徑，

設球心為，在正四棱錐中，高為，則必在上，

連，則，

則在，則，即,

在正四棱錐中， 平面于，且于，

設為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系系，

得中點，

所以，

設分別是平面和平面的法向量，

則 和，

可得，則，

由圖可知，二面角的大小為鈍角，

所以二面角的余弦值為.