Question

【題目】如圖，直線y=x+3分別交x，y軸于點D，C，點B在x軸上，OB=OC，過點B作直線m∥CD．點P、Q分別為直線m和直線CD上的動點，且點P在x軸的上方，滿足∠POQ=45°

（1）則∠PBO=度；
（2）問：PBCQ的值是否為定值？如果是，請求出該定值；如果不是，請說明理由；
（3）求證：CQ2+PB2=PQ2 ．

Answer 1

【答案】
（1）135
（2）

解：PBCQ是定值，理由如下：

∠OCQ=∠ODC+∠COD=45°+90°=135°=∠PBO，

∵∠COQ+∠CQO=180°﹣∠OCQ=45°，∠BOP+∠BPO=180°﹣∠PBO=45°，

∴∠COQ+∠CQO=∠BOP+∠BPO=45°，

又∵∠COQ+∠BOP=∠BOC﹣∠POQ=90°﹣45°=45°，

∴∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP，

∴△COQ∽△BPO，

∴ ，即PBCQ=OBOC=9

（3）

解：證明：過點Q作QE⊥m于點E，如圖1所示．

∵OB=OC=3，∠BOC=90°，

∴∠OBC=45°，BC=3 ．

∴∠PBC=∠PBO﹣∠OBC=135°﹣45°=90°，

又∵QE⊥m，

∴CB∥QE，∠PEQ=90°．

∵直線m∥直線CD，

∴四邊形BEQC為矩形，

∴QE=CB=3 ．

在Rt△QEP中，∠PEQ=90°，PE=PB﹣CQ，QE=3 ，

∴PQ2=QE2+PE2=18+（PB﹣CQ）2，

又∵PBCQ=9，

∴PQ2=2PBCQ+（PB﹣CQ）2=PB2+CQ2

【解析】解：（1）令x=0，則y=3，
即點C的坐標為（0，3）；
令y=0，則有x+3=0，
解得：x=﹣3，即點D的坐標為（﹣3，0）．
又∵OB=OC，
∴OC=OD=OB=3．
∵tan∠ODC= =1，
∴∠ODC=45°，
∵直線m∥直線CD，
∴∠ODC+∠PBO=180°，
∴∠PBO=135°．
所以答案是：135
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．