Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，BC=2，點P，Q，R分別是AB，AC，BC上的動點，PQ+PR+QR的最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作點P關于AC的對稱點P′，點P關于BC的對稱點P″，連接P′Q，P″R，CP′，CP″，PC．首先證明P′、C′、P″共線，由CP=CP′=CP″，推出△PP′P″是直角三角形，推出PQ+RQ+PR=P′R+QR+RP″≤P′P″，推出PQ+PR+QR的最小值，就是線段P′P″的長，當PC⊥AB時，P′P″的長最小，由此即可求解.

如圖，作點P關于AC的對稱點P′，點P關于BC的對稱點P″，連接P′Q，P″R，CP′，CP″，PC．

根據對稱的性質可知：QP′=QP，RP″=RP，CP=CP′=CP″，∠ACP=∠ACP′，∠PCR=∠BCP″，

∵∠ACB=90°，

∴∠PCP′+∠PCP″=180°，

∴P′，C′，P″共線，

∵CP=CP′=CP″，

∴△PP′P″是直角三角形，

∴PQ+RQ+PR=P′R+QR+RP″≤P′P″，

∴PQ+PR+QR的最小值，就是線段P′P″的長，

當PC⊥AB時，P′P″的長最小，

在Rt△ACB中，∵∠A=30°，BC=2，

∴AC=2，AB=4，

當PC⊥AB時，PC==，

∴PQ+PR+QR的最小值是．

故答案為：．