Question

【題目】已知∠ABC=90°，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內部作等邊△ABE和△APQ，連接QE并延長交BP于點F．

（1）如圖1，若AB=，點A，E，P恰好在一條直線上時，求EF的長（直接寫出結果）；

（2）如圖2，當點P為射線BC上任意一點時，求證：BF=EF；

（3）若AB=，設BP=2，求QF的長．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）3.

【解析】

（1）根據A、E、P在同一直線上判斷出點E是AP的中點，先根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AP，然后根據等邊三角形的性質求出QE．再根據直角三角形的性質求出QF，然后根據EF=QF﹣QE，代入數據進行計算即可；（2）先求出∠BAP=∠EAQ，然后利用“邊角邊”證明△ABP≌△AEQ，根據全等三角形對應角相等可得∠AEQ=∠ABP=90°，然后求出∠BEF=∠EBF=30°，再根據等角對等邊的性質即可得證；（3）過點F作FD⊥BE于點D，根據等腰三角形三線合一的求出BD，再解直角三角形求出BF的長度，即可得到EF的長，再根據全等三角形對應邊相等可得QE=BP，然后代入數據進行計算即可．

解：（1）∵△ABE是等邊三角形，A、E、P在同一直線上，

∴AB=AE，∠BAE=60°，

∴∠APB=30°，

∴AP=2AB=2，

∴點E是AP的中點，

∴QE⊥AP，

∴QE=3，

∵∠APQ=60°，∠APB=30°，

∴∠QPF=90°，

∴QF=4，

∴EF=QF﹣QE=1；

（2）證明：∵∠BAP=∠BAE﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，

∠EAQ=∠QAP﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，

∴∠BAP=∠EAQ．

在△ABP和△AEQ中，

，

∴△ABP≌△AEQ（SAS），

∴∠AEQ=∠ABP=90°，

∴∠BEF=180°﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°，

∵∠EBF=90°﹣60°=30°，

∴∠BEF=∠EBF，

∴EF=BF；

（3）如圖，過點F作FD⊥BE于點D，

∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=，

由（2）得∠EBF=30°，

在Rt△BDF中，BD=BE=，

∴BF==1，

∴EF=1，

∵△ABP≌△AEQ，

∴QE=BP=2，

∴QF=QE+EF=2+1=3．