Question

【題目】問題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP、BP，求AP+BP的最小值．

（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，則有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為　 　．

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下， AP+BP的最小值為　 　．

（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是上一點，求2PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）13．

【解析】試題分析：（1）連結AD，最短為AD==；

（2）連接CP，在CA上取點D，使CD＝，則有＝，可證△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，故AP＋BP＝BP＋PD，從而AP＋BP的最小值為BD；

（3）延長OA到點E，使CE＝6，連接PE、OP，可證△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA＋PB＝EP＋PB，當E、P、B三點共線時，得到最小值．

試題解析：（1）連結AD，最短為AD==；

（2）連接CP，在CA上取點D，使CD＝，則有＝，又∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴＝，∴PD＝AP，∴AP＋BP＝BP＋PD，∴AP＋BP的最小值為BD==；

（3）延長OA到點E，使CE＝6，連接PE、OP，則OA=3，，∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2PA，∴2PA＋PB＝EP＋PB，當E、P、B三點共線時，取得最小值，為：=13．