Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知是等邊三角形，邊上有一點，且、兩點之間的距離為.

(1)求的坐標(用含有的式子表示)；

(2)如圖(1)，若點在線段上運動，點在軸的正半軸上運動.當的值最小時，.

問：的面積是否為定值，若是，求其值；若不是，請說明理由.

(3)如圖(2)，若在外還有一點，連接、、、，，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）（m-6,0）；（2）是定值為25，理由見解析（3）12

【解析】

（1）根據，且、兩點之間的距離為，即可寫出的坐標；

（2）作出點E關于y軸的對稱點E’，得到PE=PE’，E’為定點，P、F為動點，過E’作E’F⊥AB，交y軸于點P，此時PE+PF=E’F，E’F為點E’到AB的距離，為最小，若BF=7，△BFE’為直角三角形，根據∠B=60°得到BE’=14,EE’=8,OE=4,OB=10,即可求解△ABO的面積；

（3）將△ABD旋轉60°到△AOE，得到OE=BD=15,△AED為等邊三角形，得到DE=AD=9,∠ADE=60°，再得到∠EDO=90°，利用勾股定理即可求解.

（1）∵，且、兩點之間的距離為，

∴的坐標為（m-6,0）；

（2）作出點E關于y軸的對稱點E’，

∴PE=PE’，

∵E（m,0）

∴E’為定點，P、F為動點，過E’作E’F⊥AB，交y軸于點P，此時PE+PF=E’F，

E’F為點E’到AB的距離，為最小，

若BF=7，△BFE’為直角三角形，

∵∠B=60°∴∠BE’F=30°，

∴BE’=14,

∵BE=6

∴EE’=8,

∴OE=4,

則OB=10,

∴S△ABO===25；

（3）將△ABD旋轉60°到△AOE，

∴△ABD≌△AOE，

∴OE=BD=15,

∵AD=AE,∠EAD=60°，

∴△AED為等邊三角形，得到DE=AD=9,∠ADE=60°，

∵

∴∠EDO=∠ADE +∠ADO= 90°，

∴OD=