Question

【題目】拋物線y=﹣x2+4ax+b（a＞0）與x軸相交于O、A兩點（其中O為坐標原點），過點P（2，2a）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B，點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（其中B、C不重合），連接AP交y軸于點N，連接BC和PC．

（1）a= 時，求拋物線的解析式和BC的長；
（2）如圖a＞1時，若AP⊥PC，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+4ax+b（a＞0）經過原點O，

∴b=0，

∵a= ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x，

∵x=2時，y=8，

∴點B坐標（2，8），

∵對稱軸x=3，B、C關于對稱軸對稱，

∴點C坐標（4，8），

∴BC=2．

（2）

解：

∵AP⊥PC，

∴∠APC=90°，

∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，

∴∠CPB=∠PAM，

∵∠PBC=∠PMA=90°，

∴△PCB∽△APM，

∴ ，

∴ ，

整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2± ，

∵a＞0，

∴a=2+ ．

【解析】（1）根據拋物線經過原點b=0，把a= 、b=0代入拋物線解析式，即可求出拋物線解析式，再求出B、C坐標，即可求出BC長．（2）利用△PCB∽△APM，得 = ，列出方程即可解決問題．本題考查二次函數性質、相似三角形的判定和性質、待定系數法等知識，解題的關鍵是利用相似三角形性質列出方程解決問題，學會轉化的思想，屬于中考常考題型．
【考點精析】掌握二次函數的性質和軸對稱的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．