Question

【題目】如圖，長方形ABCD中，點A（﹣4，1）、B（0，1）、C（0，3），

（1）過O的直線l和經過AC的直線平行，求直線l表達式；

（2）已知在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點．在直線l上是否存在點P為和諧點？若存在，求出點P坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x；（2）點P的坐標為（﹣6，﹣3）和（6，3）．

【解析】

（1）根據點A，C的坐標，利用待定系數法可求出經過AC的直線表達式，再利用平行的性質可求出直線l表達式；

（2）設點P的坐標為（2m，m），根據矩形的周長公式、面積公式結合矩形的周長與面積相等，即可得出關于m的一元二次方程，解之取其非零的值即可得出結論．

解：（1）設經過AC的直線表達式為y＝kx+b（k≠0），

將A（﹣4，1），C（0，3）代入y＝kx+b，得：

解得：

∴經過AC的直線表達式為y＝x+3．

∵直線l過原點，且和經過AC的直線平行，

∴直線l的表達式為y＝x．

（2）設點P的坐標為（2m，m），

根據題意得：2|2m+m|＝2m2，

即m2+3m＝0或m2﹣3m＝0，

解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，m3＝3，

∴在直線l上存在點P為和諧點，點P的坐標為（﹣6，﹣3）和（6，3）．