Question

【題目】類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整，原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G. 若 ， 求 的值．

（1）嘗試探究：
在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數量關系是 ，
CG和EH的數量關系是 ， 的值是 ．
（2）類比延伸：如圖2，在原題條件下，若 (m＞0)則 的值是(用含有m的代數式表示)，試寫出解答過程 ．
（3）拓展遷移：如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上的一點，AE和BD相交于點F，若 (a＞0，b＞0)則 的值是(用含a、b的代數式表示)．

Answer 1

【答案】
（1）AB＝3EH,CG＝2EH,
（2）解： ,如下圖所示,作EH∥AB交BG于點H,則△EFH∽△AFB∴ ＝ ＝m,∴AB＝mEH∵?ABCD∴AB＝CD＝mEH∵EH∥AB∥CD∴△BEH∽△BCG∴ ＝ ＝2,∴CG＝2EH,∴ ＝ ＝
（3）ab＋1
【解析】解：(1)依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如圖下圖所示，

則有△ABF∽△EHF，

∴ ＝ ＝3，

∴AB＝3EH，

∵ABCD，EH∥AB

∴EH∥CD

又∵E為BC的中點，

∴EH為△BCG的中位線，

∴CG＝2EH，∴ ,

( 3 )如下圖示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD

∵EH∥CD

∴△BCD∽△BEH,∴ ＝ ＝b，∴CD＝bEH

又 ＝a，

∴AB＝aCD＝abEH,∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF,

∴ ∴ .

（1）本小題體現“特殊”的情形是一個確定值，添加輔助線過點E作EH∥AB交BG于點H，易證△ABF∽△EHF，相似三角形的對應邊成比例，即可求出AB和EH的數量關系，再證明EH為△BCG的中位線，就可以得出CG和EH的數量關系， =，即可求出結果。
（2）本小題體現“一般”的情形，首先作EH∥AB交BG于點H，證明△EFH∽△AFB，從而得出AB與EH的數量關系，然后根據EH∥AB∥CD，證得△BEH∽△BCG，得出對應邊成比例，即可求出結果。
（3）此小題體現“類比”與“轉化”思想，將（1）和（2）中的解題方法推廣到梯形中求解即可。