Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為△ABC所在平面內的一點，過D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC，直線AB于點E，F.

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，通過觀察分析線段DE、DF、AB之間的數量關系，并說明理由；

（2）如圖2，當點D在直線BC上，其他條件不變時，試猜想線段DE、DF、AB之間的數量關系（請直接寫出等式，不需證明）；

（3）如圖3，當點D是△ABC內一點，過D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC，直線AB和直線BC于E、F和G. 試猜想線段DE、DF、DG與AB之間的數量關系（請直接寫出等式，不需證明）.

Answer 1

【答案】(1)DE＋DF＝AB.理由見解析； (2) ①當點D在CB的延長線上時， AB＝DE－DF；②當點D在線段BC上時，AB＝DE＋DF；③當點D在BC的延長線上時， AB＝DF－DE.(3)AB＝DE＋DG＋DF.

【解析】

（1）如圖1，先根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出四邊形AEDF是平行四邊形，則DE=AF．再根據平行線及等腰三角形的性質得出∠FDB=∠B，由等角對等邊得到DF=FB，從而證明DE+DF=AF+FB=AB；

（2）當點D在直線BC上時，分三種情況：
①當點D在BC的反向延長線上時，如圖4，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DE=AF，再證明∠FDB=∠FBD，由等角對等邊得到DF=FB，從而證明AB=AF-BF=DE-DF；
②當點D在線段BC上時，如圖1，AB=DE+DF；
③當點D在BC的延長線上時，如圖5，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DF=AE，再證明∠CDE=∠DCE，由等角對等邊得到CE=DE，再證明從而證明AB=AC=AE-CE=DF-DE；

（3）如圖3，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DF=AE，再證明∠EGC=∠C，由等角對等邊得到DE+DG=CE，從而證明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．

（1）DE+DF=AB. 理由如下：

如圖1，∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DE=AF.

∵DF∥AC，

∴∠FDB=∠C，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠FDB=∠B，

∴DF=FB，

∴DE+DF=AF+FB=AB；

（2）

①當點D在BC的反向延長線上時，如圖4，AB=DE-DF；

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DE=AF.

∴∠FDB=∠BCA，

∵AB=AC，

∴∠BCA =∠B，

∴∠FDB=∠B=∠DBF，

∴DF=FB，

∴AB=AF-BF=DE-DF；；

②當點D在線段BC上時，同題（1），AB=DE+DF；

③當點D在BC的延長線上時，如圖5，AB=DF-DE；

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DF=AE.

∴∠CDE=∠B，

∵AB=AC，

∴∠BCA =∠B=∠DCE ，

∴∠CDE=∠DCE，

∴CE=DE，

∴AB=AC=AE-CE=DF-DE；；

（3）AB=DE+DG+DF.

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DF=AE，

∵DE∥AB，

∴∠EGC=∠B，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠C=∠EGC，

∴EG=EC，即DE+DG=CE，

∴AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．

故答案為：（1）DE+DF=AB. 理由見解析；（2）①當點D在BC的反向延長線上時，如圖4見解析，AB=DE-DF；②當點D在線段BC上時，同題（1），AB=DE+DF；③當點D在BC的延長線上時，如圖5見解析，AB=DF-DE；（3）AB=DE+DG+DF.