Question

【題目】我們知道有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似的，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．

（1）請寫出一個你學過的四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱．
（2）如圖1，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且CD、BE相交于點O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC= ∠A．請你寫出與∠A相等的角．
（3）我們易證圖中的四邊形BCED是等對邊四邊形．
（提示：如圖2，可證△BGO≌△CFO再證△BGD≌△CFE，可得到結論BD=CE．不需證明）
若在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，D、E分別在AB、AC上，且CD、BE相交于點O，∠DCB=∠EBC= ∠A．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：平行四邊形等（只要對邊相等即可）
（2）解：∵∠A=60°，∠DCB=∠EBC= ∠A，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴∠BOD=∠EOC=∠OBC+∠OCB=60°，

∴與∠A相等的角是∠BOD，∠EOC

（3）解：結論：四邊形BCED是等對邊四邊形．理由如下：

如圖2中，作BG⊥CD于G，CF⊥BE于F．

∵∠DCB=∠EBC= ∠A，

∴OB=OC，

在△BGO和△CFO中，

，

∴△BGO≌△CFO，

∴BG=CF，

∵∠BOD=∠A，

∴∠A+∠DOE=180°，∠ADO+∠AEO=180°，

∵∠AEO+∠CEF=180°，∠ADO=∠BDG，

∴∠BDG=∠CEF，∵∠BGD=∠CFE，

∴△BGD≌△CFE，

∴BD=CE，

∴△BGD≌△CFE，

∴BD=CE．

∴四邊形BCED是等對邊四邊形

【解析】（1）依據等對邊四邊形的定義進行判斷即可；
（2）利用三角形的外角的性質，求出∠BOD即可解決問題；
（3）可證△BGO≌△CFO再證△BGD≌△CFE，可得到結論BD=CE.