Question

【題目】如圖，在兩個全等的等腰直角三角形ABC和EDC中，∠ACB＝∠ECD＝90°，點A與點E重合，點D與點B重合．現△ABC不動，把△EDC繞點C按順時針方向旋轉，旋轉角為α(0°＜α＜90°)．

(1)如圖②，AB與CE交于點F，ED與AB，BC分別交于點M，H.求證：CF＝CH；

(2)如圖③，當α＝45°時，試判斷四邊形ACDM的形狀，并說明理由；

(3)如圖②，在△EDC繞點C旋轉的過程中，連結BD，當旋轉角α的度數為多少時，△BDH是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ACDM是菱形．理由見解析；（3）α=30°，即當旋轉角α的度數為30°時，△BDH是等腰三角形．

【解析】

（1）根據△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,可得:∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,再根據△ABC不動,把△EDC繞點C按順時針方向旋轉,旋轉角為α,

進而可得:CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,根據全等三角形的判定定理可得:△CAF≌△CDH,根據全等三角形的性質可得:CF=CH,

（2）根據∠ACE=∠BCD=45°,而∠A=45°,可得:∠AFC=90°,而∠FCD=90°,進而可得:AB∥CD,同理可得AC∥DE,根據平行四邊形的判定可得:四邊形ACDM是平行四邊形,根據CA=CD,根據菱形的定義可得:四邊形ACDM是菱形,

（3）根據CB=CD,∠BCD=α,可得:∠CBD=∠CDB=（180°-α）,繼而可得:∠HBD＞∠BDH,

即當DB=DH或BH=BD時，△BDH是等腰三角形,根據∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,然后分類討論:當DB=DH,則∠HBD=∠BHD,即（180°-α）=α+45°,解得α=30°,當BH=BD,則∠BHD=∠BDH,即α+45°=（180°-α）-45°,解得α=0°（舍去）,因此α=30°,即當旋轉角α的度數為30°時,△BDH是等腰三角形．

（1）證明:∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,

∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,

∵△ABC不動,把△EDC繞點C按順時針方向旋轉,旋轉角為α,

∴CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,

∴△CAF≌△CDH,

∴CF=CH,

（2）四邊形ACDM是菱形,理由如下:

∵∠ACE=∠BCD=45°,而∠A=45°,

∴∠AFC=90°,而∠FCD=90°,

∴AB∥CD,

同理可得AC∥DE,

∴四邊形ACDM是平行四邊形,

而CA=CD,

∴四邊形ACDM是菱形,

（3）∵CB=CD,∠BCD=α,

∴∠CBD=∠CDB=（180°-α）,

∴∠HBD＞∠BDH,

∴當DB=DH或BH=BD時,△BDH是等腰三角形,

∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,

當DB=DH,則∠HBD=∠BHD,即（180°-α）=α+45°,解得α=30°,

當BH=BD,則∠BHD=∠BDH,即α+45°=（180°-α）-45°,解得α=0°（舍去）,

∴α=30°,即當旋轉角α的度數為30°時,△BDH是等腰三角形.