Question

【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=90°，AB=8，CB=6，P、Q是△ABC邊上的兩個動點,其中點P從點A開始沿A→B方向運動,且速度為每秒1cm,點Q從點B開始沿B→C方向運動,且速度為每秒2cm,它們同時出發,設出發的時間為t秒.

(1)當t=2秒時,求PQ的長;

(2)求出發時間為幾秒時,△PQB是等腰三角形?

(3)若Q沿B→C→A方向運動,則當點Q在邊CA上運動時,求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間。

Answer 1

【答案】（1）；
（2）秒；
（3）t為5.5秒或6秒或6.6秒．

【解析】

（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由題意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；
（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：
①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；
②當CQ=BC時（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；
③當BC=BQ時（圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．

（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，

；
（2）解：根據題意得：BQ=BP，
即 ，
解得：；
即出發時間為秒時，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三種情況：

①當CQ=BQ時，如圖1所示：
則∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．

②當CQ=BC時，如圖2所示：
則BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．

③當BC=BQ時，如圖3所示：
過B點作BE⊥AC于點E，
則 （cm）
∴cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，
△BCQ為等腰三角形．