Question

【題目】在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，點E在邊CD上，且DE=1．

（1）感知：如圖①，連接AE，過點E作EF⊥AE，交BC于點F，連接AF，易證：△ADE≌△ECF（不需要證明）；
（2）探究：如圖②，點P在矩形ABCD的邊AD上（點P不與點A、D重合），連接PE，過點E作EF⊥PE，交BC于點F，連接PF．求證：△PDE∽△ECF；
（3）應用：如圖③，若EF交AB邊于點F，其他條件不變，且△PEF的面積是3，則AP的長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：感知：如圖①，∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠D=∠C=90°，

∴∠DAE+∠DEA=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=90°，

∴∠DEA+∠FEC=90°，

∴∠DAE=∠FEC，

∵DE=1，CD=4，

∴CE=3，

∵AD=3，

∴AD=CE，

∴△ADE≌△ECF（ASA）

（2）

探究：如圖②，∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠D=∠C=90°，

∴∠DPE+∠DEP=90°，

∵EF⊥PE，

∴∠PEF=90°，

∴∠DEP+∠FEC=90°，

∴∠DPE=∠FEC，

∴△PDE∽△ECF

（3）2
【解析】（3）應用：如圖③，過F作FG⊥DC于G，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
∴FG=BC=3，
∵PE⊥EF，
∴S△PEF= PEEF=3，
∴PEEF=6，
同理得：△PDE∽△EGF，
∴ ，
∴ ，
∴EF=3PE，
∴3PE2=6，
∴PE= ，
∵PE＞0，
∴PE= ，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD=1，
∴AP=AD﹣PD=3﹣1=2，
所以答案是：2．

【考點精析】本題主要考查了相似圖形和相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握形狀相同，大小不一定相同（放大或縮小）;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對應成比例，夾角相等；④三邊對應成比例；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．