Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF與BD交于點(diǎn)H．
（1）求證：△EDH∽△FBH；
（2）若BD=6，求DH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，是AB的中點(diǎn)，

∴DC= AB=EB，DC∥BE，

∴四邊形DCBE是平行四邊形，

∴FB∥DE，

∴△EDH∽△FBH

（2）解：由（1）知，BC∥DE，BC=DE，

∵FB= BC，

∴FB= DE．

∵△EDH∽△FBH，

∴ =2．

∵DH+HB=6，

∴DH=4

【解析】（1）先根據(jù)題意得出四邊形DCBE是平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)得出FB∥DE，故可得出∠FBH=∠EDH，∠DEH=∠BFH，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）先有平行四邊形的性質(zhì)得出BC∥DE，BC=DE，再由△EDH∽△FBH可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．