Question

【題目】如圖①，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=﹣x+2經過A、C兩點，且AB=2．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線l平行于x軸，直線l從點C出發以每秒1個單位長度的速度沿y軸負半軸方向向點O運動，到點O停止，且分別交線段AC、線段BC、拋物線、y軸于點E、D、F（點F在對稱軸的右側）、H，當點D是線段EF的三等分點時，求t的值；
（3）如圖②，在直線l運動的過程中，過點D作x軸的垂線交x軸于點G，四邊形OHDG與△AOC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣x+2與x軸、y軸的交點為A（2，0），C（0，2），AB=2，

∴B（4，0），

把A（2，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y=ax2+bx+c中，

得 ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x+2

（2）

解：∵OA=OC=2，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∵直線l∥x軸，

∴△HEC是等腰直角三角形，

∵OA=AB=2，

∴HE=DE，

① 如圖①中，當DF=2DE時，點F坐標（4t，2﹣t），

∴2﹣t= ×（4t）2﹣ ×4t+2，

∴t= 或0（舍棄），

②如圖2中，當DE=2DF時，點F坐標（ t，2﹣t），

∴2﹣t= ×（ t）2﹣ × t+2，

∴t= 或0（舍棄），

綜上所述，當點D是線段EF的三等分點時，t的值為 s或 s

（3）

解：①如圖③當0＜t≤1時，重疊部分是五邊形EHOGK，

S=S矩形OHDG﹣S△DEK=2t（2﹣t）﹣ t2=﹣ t2+4t，

②如圖④中，當1＜t＜2時，重疊部分是四邊形OHEA，

S= （t+2）（2﹣t）=﹣ t2+2，

綜上所述，S= ．

【解析】（1）求出A、B、C三點坐標，代入拋物線的解析式，解方程組即可．（2）分兩種情形①如圖①中，當DF=2DE時，點F坐標（4t，2﹣t），②如圖2中，當DE=2DF時，點F坐標（ t，2﹣t），想辦法列出方程解決問題．（3）分兩種情形①如圖③當0＜t≤1時，重疊部分是五邊形EHOGK，②如圖④中，當1＜t＜2時，重疊部分是四邊形OHEA，分別計算即可．
【考點精析】通過靈活運用求根公式和相似三角形的性質，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題．